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怎么开平方(开方公式推导)

有时我们需要将一个完全平方数开平方,怎样开平方呢?其原理又是什么呢?下面介绍一些方法,最后一种方法十分巧妙又十分简单,对于得数是两位数的不仅可秒杀还可确定答案,也就是答案已验证了。

方法一:利用余数规律和估算。

以4489开平方为例,通过估算可以知道答案在60多,再根据尾数,知道个位数字为3或7,因4489除以9余7,因此,个位为7才成立,因此,4489如果是完全平方数则是67的平方。

这种方法的好处是快、计算量小,缺点是不通用,如果不是完全平方数开方则行不通,因此,题目没有确定是完全平方数时,答案需进一步验证,否则不可靠。

方法二:手工开平方,从末尾每两个数字为一节,类似除法竖式。

还是以4489为例:

由前两位44,得出商(为了方便这里还是称为商和试商,虽然不严谨也不科学,但应不防碍讲清楚方法和算理)为6,并且是十位为6,余数8,再将后两位落下成为889,接下来要找的数是12?×?=889,其中的12为原来商的2倍(考虑位值应该是20倍)。为什么要乘2?根据完全平方公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=a^2+(2a+b)×b,前面的6(实为60)是a,12?就是2a+b。这就是前面的商乘2再后面添上要试的商做除数来试商的原理。经试商127×7=889,刚好开完。答案为67。如果没开完,所得的商乘2再添上新试的商做除数继续就行了。

这种方法的好处是总是有效,缺点是计算量有时较大。

方法三,利用平方差公式。a^2-b^2=(a-b)×(a+b)。

还是以4489为例,可以取65^2=4225(速算法:6×7=42,5×5=25,原理此处不详细说)

4489-4225=264=2×132(差不大,和为a、b的2倍左右,大于120,小于140)

这样,65+2=67,132-65=67,说明完全正确。

也可以这样算:

70×70一4489=411=3×137

70-3=67,137-70也是67。

这种方法是不是很妙?随便找一个完全平方数均可秒杀,而且答案令人放心,计算量也小。

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